Turunan Suatu Fungsi

Limit dapat digunakan untuk menentukan gradien dari suatu kurva. Selain itu, limit juga digunakan untuk mendefinisikan salah satu operasi yang fundamental pada kalkulus, yaitu turunan.

Definisi Turunan Suatu Fungsi
Turunan fungsi f pada x didefinisikan sebagai

apabila limitnya ada. Untuk setiap x sedemikian sehingga limitnya ada, f ’ adalah fungsi terhadap x.

Yang patut dicatat adalah turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi terhadap x. Fungsi “baru” ini memberikan gradien dari garis singgung terhadap grafik f di titik (c, f(c)), asalkan grafik fungsi tersebut memiliki garis singgung di titik (c, f(c)).
Proses untuk menentukan turunan dari suatu fungsi disebut penurunan. Suatu fungsi terturunkan di x jika turunannya ada di x, dan terturunkan di selang buka (a, b) jika fungsi tersebut terturunkan di setiap titik dalam selang.
Sebagai tambahan, selain f ’(x), notasi lain juga dapat digunakan untuk menyatakan turunan dari y = f(x). Notasi yang sering digunakan adalah

Notasi dy/dx dibaca “turunan y terhadap x” atau “dy, dx”. Dengan menggunakan notasi limit, kita dapat menuliskan

Contoh 1: Menemukan Turunan dengan Proses Limit
Tentukan turunan dari f(x) = 2x³ – 3x.
Pembahasan

Ingat bahwa turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi, yang dapat digunakan untuk menentukan gradien garis singgung grafik f di titik (c, f(c)).
Tips: Ketika menggunakan definisi untuk menurunkan fungsi, kuncinya adalah memanipulasi persamaan sebelah kanan sehingga penyebutnya tidak memiliki faktor Δx.
Contoh 2: Menggunakan Turunan untuk Menentukan Gradien di Suatu Titik
Tentukan f ’(x) untuk f(x) = √x. Kemudian tentukan gradien grafik pada titik (1, 1) dan (4, 2). Jelaskan perilaku f di titik (0, 0).
Pembahasan
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah merasionalkan pembilang.

Pada titik (1, 1), gradiennya adalah f ’(1) = 1/2. Pada titik (4, 2), gradiennya adalah f ’(4) = 1/4. Perhatikan gambar di bawah ini. Pada titik (0, 0), gradiennya tidak terdefinisi. Akan tetapi, grafik f memiliki garis singgung berupa garis vertikal pada titik (0, 0).

Di beberapa kasus, penggunaan variabel x bisa digantikan oleh variabel lainnya. Hal ini seperti yang ditunjukkan oleh contoh 3 berikut.
Contoh 3: Menentukan Turunan dari Suatu Fungsi
Tentukan turunan terhadap t dari fungsi y = 7/t.
Pembahasan
Misalkan y = f(t), kita mendapatkan